Algèbre linéaire Exemples

$i^{167}$

Étape 1

Réécrivez $i^{167}$ comme ${(i^{4})}^{41} (i^{2} \cdot i)$ .

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Étape 1.1

Factorisez $i^{164}$ .

$i^{164} i^{3}$

Étape 1.2

Réécrivez $i^{164}$ comme ${(i^{4})}^{41}$ .

${(i^{4})}^{41} i^{3}$

Étape 1.3

Factorisez $i^{2}$ .

${(i^{4})}^{41} (i^{2} \cdot i)$

Étape 2

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

${({(i^{2})}^{2})}^{41} (i^{2} \cdot i)$

Étape 2.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

${({(- 1)}^{2})}^{41} (i^{2} \cdot i)$

Étape 2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1^{41} (i^{2} \cdot i)$

Étape 3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 (i^{2} \cdot i)$

Étape 4

Multipliez $i^{2} \cdot i$ par $1$ .

$i^{2} \cdot i$

Étape 5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 1 \cdot i$

Étape 6

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$- i$

Étape 7

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 8

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 9

Remplacez les valeurs réelles de $a = 0$ et $b = - 1$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

Étape 10

Déterminez $| z |$ .

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Étape 10.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Étape 10.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| z | = 1$

Étape 11

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

Étape 12

Comme l’argument est indéfini et $b$ est négatif, l’angle du point sur le plan complexe est $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Étape 13

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{3 π}{2}$ et $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$