Algèbre linéaire Exemples

i^{167}

$i^{167}$

Étape 1

Réécrivez

i^{167}

$i^{167}$ comme

{(i^{4})}^{41} (i^{2} \cdot i)

${(i^{4})}^{41} (i^{2} \cdot i)$ .

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Étape 1.1

Factorisez

i^{164}

$i^{164}$ .

i^{164} i^{3}

$i^{164} i^{3}$

Étape 1.2

Réécrivez

i^{164}

$i^{164}$ comme

{(i^{4})}^{41}

${(i^{4})}^{41}$ .

{(i^{4})}^{41} i^{3}

${(i^{4})}^{41} i^{3}$

Étape 1.3

Factorisez

i^{2}

$i^{2}$ .

{(i^{4})}^{41} (i^{2} \cdot i)

${(i^{4})}^{41} (i^{2} \cdot i)$

{(i^{4})}^{41} (i^{2} \cdot i)

${(i^{4})}^{41} (i^{2} \cdot i)$

Étape 2

Réécrivez

i^{4}

$i^{4}$ comme

1

$1$ .

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Étape 2.1

Réécrivez

i^{4}

$i^{4}$ comme

{(i^{2})}^{2}

${(i^{2})}^{2}$ .

{({(i^{2})}^{2})}^{41} (i^{2} \cdot i)

${({(i^{2})}^{2})}^{41} (i^{2} \cdot i)$

Étape 2.2

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

{({(- 1)}^{2})}^{41} (i^{2} \cdot i)

${({(- 1)}^{2})}^{41} (i^{2} \cdot i)$

Étape 2.3

Élevez

- 1

$- 1$ à la puissance

2

$2$ .

1^{41} (i^{2} \cdot i)

$1^{41} (i^{2} \cdot i)$

1^{41} (i^{2} \cdot i)

$1^{41} (i^{2} \cdot i)$

Étape 3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

1 (i^{2} \cdot i)

$1 (i^{2} \cdot i)$

Étape 4

Multipliez

i^{2} \cdot i

$i^{2} \cdot i$ par

1

$1$ .

i^{2} \cdot i

$i^{2} \cdot i$

Étape 5

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

- 1 \cdot i

$- 1 \cdot i$

Étape 6

Réécrivez

- 1 i

$- 1 i$ comme

- i

$- i$ .

- i

$- i$

Étape 7

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où

| z |

$| z |$ est le module et

θ

$θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 8

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où

z = a + b i

$z = a + b i$

Étape 9

Remplacez les valeurs réelles de

a = 0

$a = 0$ et

b = - 1

$b = - 1$ .

| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

Étape 10

Déterminez

$| z |$ .

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Étape 10.1

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Étape 10.2

Toute racine de

$1$ est

$1$ .

$| z | = 1$

Étape 11

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

Étape 12

Comme l’argument est indéfini et

$b$ est négatif, l’angle du point sur le plan complexe est

$\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Étape 13

Remplacez les valeurs de

$θ = \frac{3 π}{2}$ et

$| z | = 1$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$